По общему правилу, организации, в которых доля участия других юридических лиц составляет более 25 процентов, не имеют права применять «упрощенку». Об этом сказано в подпункте 14 пункта 3 статьи 346.12 Налогового кодекса. Однако данное правило не распространяется на некоммерческие организации.

А частное учреждение как раз является одной из форм некоммерческих организаций. Так гласит пункт 1 статьи 9 Федерального закона от 12.01.96 № 7-ФЗ «О некоммерческих организациях». Соответственно, частные учреждения вправе применять УСН.
При этом авторы письма обращают внимание, что казенные и бюджетные учреждения на основании подпункта 17 пункта 3 статьи 346.12 НК РФ на «упрощенку» перейти не могут.